Тема урока: Решение логических уравнений

Образовательная – изучение способов решения логических уравнений, формирование умений и навыков решения логических уравнений и построения логического выражения по таблице истинности;

Развивающая - создать условия для развития познавательного интереса учащихся, способствовать развитию памяти, внимания, логического мышления;

Воспитательная : способствовать воспитанию умения выслушивать мнение других, воспитание воли и настойчивости для достижения конечных результатов.

Тип урока: комбинированный урок

Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор, презентация 6.

Ход урока

Повторение и актуализацию опорных знаний. Проверка домашнего задания (10 минут)

На предыдущих уроках мы познакомились с основными законами алгебры логики, научились использовать эти законы для упрощения логических выражений.

Выполним проверку домашнего задания по упрощению логических выражений:

1. Какое из приведенных слов удовлетворяет логическому условию:

(первая буква согласная→вторая буква согласная) ٨ (последняя буква гласная → предпоследняя буква гласная)? Если таких слов несколько, укажите наименьшее из них.

1) АННА 2) МАРИЯ 3) ОЛЕГ 4) СТЕПАН

Введем обозначения:

А – первая буква согласная

В – вторая буква согласная

С – последняя буква гласная

D – предпоследняя буква гласная

Составим выражение:

Составим таблицу:

2. Укажите, какое логическое выражение равносильно выражению

Упростим запись исходного выражения и предложенных вариантов:

3. Дан фрагмент таблицы истинности выражения F:

Какое выражение соответствует F?

Определим значения этих выражений при указанных значениях аргументов:

Ознакомление с темой урока, изложение нового материала (30 минут)

Мы продолжаем изучать основы логики и тема нашего сегодняшнего урока «Решение логических уравнений». Изучив данную тему, вы узнаете основные способы решения логических уравнений, получите навыки решения этих уравнений путем использования языка алгебры логики и умения составления логического выражения по таблице истинности.

1. Решить логическое уравнение

(¬K  M) → (¬L  M  N) =0

Ответ запишите в виде строки из четырех символов: значений переменных K, L, M и N (в указанном порядке). Так, например, строка 1101 соответствует тому, что K=1, L=1, M=0, N=1.

Решение:

Преобразуем выражение (¬K  M) → (¬L  M  N)

Выражение ложно, когда оба слагаемые ложны. Второе слагаемое равно 0, если M =0, N =0, L =1. В первом слагаемом K =0, так как М=0, а
.

Ответ: 0100

2. Сколько решений имеет уравнение (в ответе укажите только число)?

Решение: преобразуем выражение

(A +B )*(C +D )=1

A +B =1 и C +D =1

2 способ: составление таблицы истинности

3 способ : построение СДНФ – совершенной дизъюнктивной нормальной формы для функции – дизъюнкции полных правильных элементарных конъюнкций.

Преобразуем исходное выражение, раскроем скобки для того, чтобы получить дизъюнкцию конъюнкций:

(A+B)*(C+D)=A*C+B*C+A*D+B*D=

Дополним конъюнкции до полных конъюнкций (произведение всех аргументов), раскроем скобки:

Учтем одинаковые конъюнкции:

В итоге получаем СДНФ, содержащую 9 конъюнкций. Следовательно, таблица истинности для данной функции имеет значение 1 на 9 строках из 2 4 =16 наборов значений переменных.

3. Сколько решений имеет уравнение (в ответе укажите только число)?

Упростим выражение:

3 способ : построение СДНФ

Учтем одинаковые конъюнкции:

В итоге получаем СДНФ, содержащую 5 конъюнкций. Следовательно таблица истинности для данной функции имеет значение 1 на 5 строках из 2 4 =16 наборов значений переменных.

Построение логического выражения по таблице истинности:

для каждой строки таблицы истинности, содержащей 1 составляем произведение аргументов, причем, переменные, равные 0, входят в произведение с отрицанием, а переменные, равные 1 – без отрицания. Искомое выражение F будет составляется из суммы полученных произведений. Затем, если возможно, это выражение необходимо упростить.

Пример: дана таблица истинности выражения. Построить логическое выражение.

Решение:

3. Задание на дом (5 минут)

Решить уравнение:

Сколько решений имеет уравнение (в ответе укажите только число)?

По заданной таблице истинности составить логическое выражение и

упростить его.

По завершению года оказалось, что только одно из трех предположений истинно. Какие подразделения получили по итогам года прибыль?

Решение. Запишем предположения из условия задачи в виде логических высказываний: «Получение прибыли подразделениемB не является необходимым условием для получения

прибыли подразделением A »:F 1 (A , B , C ) = A → B

«Получение прибыли хотя бы одним подразделений B иC не является достаточным для получения прибыли подразделениемA »:F 2 (A , B , C ) = (B + C ) → A

«Подразделения A иB не получат прибыль одновременно»:F 3 (A , B , C ) = A B

Из условия известно, что только одно из трех предположений истинно. Это значит, что мы должны найти какое из трех следующих логических выражений не является тождественно ложным:

1) F 1F 2F 3

2) F 1F 2F 3

3) F 1F 2F 3

1) (A→ B) ((B+ C) → A) (A↔ B) = A B(B C+ A) (A B+ A B) = 0

2) (A→ B) ((B+ C) → A) (A↔ B) = (A+ B) (A B+ A C) (A B+ A B) = A B C

3) (A→ B) ((B+ C) → A) (A B) = (A+ B) (B C+ A) (A B+ A B) = 0

Следовательно, по итогам годы истинным оказалось второе предположение, а первое и третье – ложными.

									A = 0

	F1 F2 F3 = A B C= 1
	F1 F2 F3 = A B C= 1								в том и только в том случае, когда B = 0 .

									C = 1

Следовательно, что прибыль получит подразделение C , а подразделенияA иB прибыль не получат.

Решение логических уравнений

В текстах государственного централизованного тестирования есть задание (А8), в котором предлагается найти корень логического уравнения. Давайте разберем способы решения подобных заданий на примере.

Найти корень логического уравнения: (A + B )(X AB ) = B + X → A .

Первый способ решения – построение таблицы истинности. Построим таблицы истинности правой и левой части уравнения и посмотрим, при каком X , значения в последних столбцах этих таблиц совпадут.

F1 (A, B, X) = (A+ B)(X AB)

A + B	(A+ B)(X AB)	F 1 (A ,B ,X )

F2 (A, B, X) = B+ X→ A

X → A			F 2 (A ,B ,X )
X → A	X → A	X → A	F 2 (A ,B ,X )

Сравним полученные таблицы истинности и выберем те строки, в которых значения F 1 (A , B , X ) иF 2 (A , B , X ) совпадают.

			F 1 (A ,B ,X )	F 2 (A ,B ,X )

Перепишем только выбранные строки, оставив только столбцы аргументов. Посмотрим на переменную X как на функцию отA иB .

Очевидно, что X = B → A .

Второй способ решения – заменить знак равенства в уравнении на знак эквиваленции, а затем упростить полученное логическое уравнение.

Для облегчения дальнейшей работы предварительно упростим правую и левую части логического уравнения и найдем их отрицания:

F1 = (A+ B)(X AB) = A+ B+ (X↔ AB) = A B+ X A B+ X A+ X B

F1 = (A+ B)(X AB) = (A+ B)(X A+ X B+ X A B) = X A B+ X A B+ X A B

F2 = B+ X→ A= B(X→ A) = B(X+ A) = X B+ A B F2 = B+ X→ A= B+ X+ A= B+ X A

Заменим в нашем логическом уравнении знак равенства на знак эквивалентности:

F1 ↔ F2 = F1 F2 + F1 F2 = (A B+ X A B+ X A+ X B) (X B+ A B) +

+ (X A B+ X A B+ X A B) (B+ X A) =

= (X A B+ X B+ X A B) + (X A B+ X A B) =

Перегруппируем логические слагаемые данного выражения, вынеся за скобку множители X иX .

X(A B) + X(B+ AB) = X(A B) + X(B+ A) =

Обозначим T = A B , тогда

X T+ X T= X↔ T.

Следовательно, чтобы логическое уравнение имеет решение: X = A B = B + A = B → A .

Логические элементы ЭВМ. Построение функциональных схем

Математическая логика с развитием ВТ оказалась в тесной взаимосвязи с вопросами конструирования и программирования вычислительной техники. Алгебра логики нашла широкое применение первоначально при разработке релейно-контактных схем . Первым фундаментальным исследованием, обратившим внимание инженеров, занимавшихся проектированием ЭВМ, на возможность анализа электрических цепей с помощью булевой алгебры была опубликована в декабре 1938 года статья американца Клода Шеннона «Символический анализ релейно-контактных схем». После этой статьи проектирование ЭВМ не обходилось без применения булевой алгебры.

Логический элемент - это схема, реализующая логические операции дизъюнкции, конъюнкции и инверсии. Рассмотрим реализацию логических элементов через электрические релейно-контактные схемы, знакомые вам из школьного курса физики.

Последовательное соединение контактов

Параллельное соединение контактов

Составим таблицу зависимостей состояния цепей от всевозможных состояний контактов. Введем обозначения: 1 – контакт замкнут, ток в цепи есть; 0 – контакт разомкнут, тока в цепи нет.

		Состояние цепи с	Состояние цепи с параллельным
		последовательным соединением	соединением

Как видно, цепь с последовательным соединением соответствует логической операции конъюнкция, так как ток в цепи появляется только при одновременном замыкании контактов A иB . Цепь с параллельным соединением соответствует логической операции дизъюнкция, так как ток в цепи отсутствует только в момент, когда оба контакта разомкнуты.

Логическая операция инверсии реализуется через контактную схему электромагнитного реле, принцип которого изучается в школьном курсе физики. Контакт x разомкнут, когдаx замкнут, и наоборот.

Использование релейно-контактных элементов для построения логических схем вычислительных машин не оправдало себя ввиду низкой надежности, больших габаритов, большого энергопотребления и низкого быстродействия. Появление электронных приборов (вакуумных и полупроводниковых) создало возможность построения логических элементов с быстродействием от 1 миллиона переключений в секунду и выше. Логические элементы на полупроводниках работают в режиме ключа аналогично электромагнитному реле. Вся теория, изложенная для контактных схем, переносится на полупроводниковые элементы. Логические элементы на полупроводниках характеризуются не состоянием контактов, а наличием сигналов на входе и выходе.

Рассмотрим логические элементы, реализующие основные логические операции:

Инвертор - реализует операцию отрицания или инверсию. У

инвертора один вход и один выход. Сигнал на выходе появляется

тогда, когда на входе его нет, и наоборот.

Конъюнктор -

X1 X2 ... Xn

реализует операцию конъюнкции.

У конъюнктора

один выход и не менее двух входов. Сигнал на

выходе появляется тогда и только тогда, когда на

все входы поданы сигналы.

X2 + ... Xn

Дизъюнктор - реализует операцию дизъюнкции. У

дизъюнктора один выход и не менее двух

Сигнал на выходе не появляется тогда и только тогда,

когда на все входы не поданы сигналы.

	Построить	функциональную
F(X, Y, Z) = X(Y+ Z)



			X + Z

схему, соответствующую функции:

& F(X, Y, Z)

Решение задач с использованием конъюнктивно-нормальной

и дизъюнктивно-нормальной форм

В задачниках по логике часто встречаются стандартные задачи, где нужно записать функцию, реализующую релейно-контактную схему, упростить ее и построить таблицу истинности для этой функции. А как решать обратную задачу? Дана произвольная таблица истинности, нужно построить функциональную или релейно-контактную схему. Этим вопросом мы и займемся сегодня.

Любую функцию алгебры логики можно представить комбинацией трех операций: конъюнкции, дизъюнкции и инверсии. Давайте разберемся, как это делается. Для этого запишем несколько определений.

Минтерм - это функция, образованная конъюнкцией некоторого числа переменных или их отрицаний. Минтерм принимает значение 1 при единственном из всех возможных наборов

аргументов, и значение 0 при всех остальных. Пример: x 1 x 2 x 3 x 4 .

Макстерм - это функция, образованная дизъюнкцией некоторого числа переменных или их отрицаний. Макстерм принимает значение 0 в одном из возможных наборов, и 1 при всех других.

Пример: x 1 + x 2 + x 3 .

Функция в дизъюнктивной нормальной форме (ДНФ) является логической суммой минтермов.

Пример: x 1x 2+ x 1x 2+ x 1x 2x 3.

Конъюнктивная нормальная форма (КНФ) является логическим произведением элементарных дизъюнкций (макстермов).

Пример: (x 1+ x 2+ x 3) (x 1+ x 2) .

Совершенной дизъюнктивно-нормальной формойназывается ДНФ, в каждом минтерме которой присутствуют все переменные или их отрицания.

Пример: x 1x 2x 3+ x 1x 2x 3+ x 1x 2x 3

Совершенной конъюктивно-нормальной формойназывается КНФ, в каждом макстерме которой присутствуют все переменные или их отрицания.

Пример: (x 1+ x 2+ x 3) (x 1+ x 2+ x 3)

Запись логической функции по таблице

Любая логическая функция может быть выражена в виде СДНФ или СКНФ. В качестве примера рассмотрим функцию f , представленную в таблице.

			f(x1 , x2 , x3 )

Функции G0, G1, G4, G5, G7 – это минтермы (см. определение). Каждая из этих функций является произведением трех переменных или их инверсий и принимает значение 1 только в одной ситуации. Видно, что для того, чтобы получить 1 в значении функции f, нужен один минтерм. Следовательно, количество минтермов, составляющих СДНФ этой функции, равно количеству единиц в значении функции: f= G0+G1+G4+G5+G7. Таким образом, СДНФ имеет вид:

f (x 1, x 2, x 3) = x 1x 2x 3+ x 1x 2x 3+ x 1x 2x 3+ x 1x 2x 3+ x 1x 2x 3.

Аналогично можно построить СКНФ. Количество сомножителей равно количеству нулей в значениях функции:

f (x 1, x 2, x 3) = (x 1+ x 2+ x 3) (x 1+ x 2+ x 3) (x 1+ x 2+ x 3) .

Таким образом, можно записать в виде формулы любую логическую функцию, заданную в виде таблицы.

Алгоритм построения СДНФ по таблице истинности

Дана таблица истинности некоторой функции. Для построения СДНФ необходимо выполнить следующую последовательность шагов:

1. Выбрать все строки таблицы, в которых функция принимает значение 1.

2. Каждой такой строке поставить в соответствие конъюнкцию всех аргументов или их инверсий (минтерм). При этом аргумент, принимающий значение 0, входит в минтерм с отрицанием, а значение 1 – без отрицания.

3. Наконец, образуем дизъюнкцию всех полученных минтермов. Количество минтермов должно совпадать с количеством единиц логической функции.

Алгоритм построения СКНФ по таблице истинности

Дана таблица истинности некоторой функции. Для построения СКНФ необходимо выполнить следующую последовательность шагов:

1. Выбрать все строки таблицы, в которых функция принимает значение 0.

2. Каждой такой строке поставить в соответствие дизъюнкцию всех аргументов или их инверсий (макстерм). При этом аргумент, принимающий значение 1, входит в макстерм с отрицанием, а значение 1 – без отрицания.

3. Наконец, образуем конъюнкцию всех полученных макстермов. Количество макстермов должно совпадать с количеством нулей логической функции.

Если условиться из двух форм (СДНФ или СКНФ) отдавать предпочтение той, которая содержит меньше букв, то СДНФ предпочтительней, если среди значений функции таблицы истинности меньше единиц, СКНФ – если меньше нулей.

Пример. Дана таблица истинности логической функции от трех переменных. Построить логическую формулу, реализующую эту функцию.

			F(A, B, C)

Выберем те строки в данной таблице истинности, в которых значения функции равна 0.

F(A, B, C) = (A+ B+ C) (A+ B+ C)

Проверим выведенную функцию, составив таблицу истинности.

Сравнив начальную и итоговую таблицу истинности можно сделать вывод, что логическая функция построена правильно.

Решение задач

1. Три преподавателя отбирают задачи для олимпиады. На выбор предлагается несколько задач. По каждой задаче каждый из преподавателей высказывает свое мнение: легкая (0) или трудная (1) задача. Задача включается в олимпиадное задание, если не менее двух преподавателей отметили ее как трудную, но если все три преподавателя считают ее трудной, то такая задача не включается в олимпиадное задание как слишком сложная. Составьте логическую схему устройства, которое будет выдавать на выходе 1, если задача включается в олимпиадное задание, и 0, если не включается.

Построим таблицу истинности искомой функции. У нас есть три входные переменные (три преподавателя). Следовательно, искомая функция будет функцией от трех переменных.

Анализируя условие задачи, получаем следующую таблицу истинности:

Строим СДНФ. F(A, B, C) = ABC+ ABC+ ABC

Теперь строим логическую схему этой функции.

B & 1F(A,B,C)

2. Городская олимпиада по базовому курсу информатики, 2007 год. Постройте схему электрической цепи для подъезда трехэтажного дома такую, чтобы выключателем на любом этаже можно было бы включить или выключить свет во всем доме.

Итак, у нас есть три выключателя, которыми мы должны включать и выключать свет. У каждого выключателя есть два состояния: верхнее (0) и нижнее (1). Предположим, что если все три выключателя в положении 0, свет в подъезде выключен. Тогда при переводе любого из трех выключателей в положение 1 свет в подъезде должен загореться. Очевидно, что при переводе любого другого выключателя в положение 1, свет в подъезде выключится. Если третий выключатель перевести в положение 1, свет в подъезде загорится. Строим таблицу истинности.

Тогда, F(A, B, C) = ABC+ ABC+ ABC+ ABC.

3. Условие изменения		значения логической функции		F(A, B, C) = C→		A + B
одновременном изменении аргументов B иC равно:


	A → (B C)				(B C) → A
			A(B C)
4) (B C) → A			A → (B C)

Примечание. Для успешного решения данной задачи вспомним следующие логические формулы:

x → y= x+ y x y= x y+ x y

x ↔ y= x y+ x y

Нам дана логическая функция от трех переменных F 1 (A , B , C ) = C → A + B = C + A B .

Изменим одновременно переменные B иC :F 2 (A , B , C ) = F 1 (A , B , C ) = C + A B . Построим таблицы истинности этих двух функций:

Анализируем полученную таблицу. Из восьми строк таблицы лишь в двух (2-й и 3-й) функция не изменяет своего значения. Обратите внимание, что в этих строках переменнаяA не изменяет своего значения на противоположное, а переменныеB иC – изменяют.

Строим СКНФ функции по этим строкам:

F3 (A, B, C) = (A+ B+ C) (A+ B C) = A+ AB+ AC+ AB+ BC+ AC+ B C= .

A+ (B↔ C) = A+ B C= (B C) → A

Следовательно, искомый ответ – 4.

4. Условие изменения значения логической функции F (A , B , C ) = C + AB при одновременном изменении аргументовA иB равно:

1) C+ (A B)

C + (A B)

C(A B)

4) C(A B)

C → (A B)

F 1 (A ,B ,C )=

C + AB

F 2 (A ,B ,C )= F 1 (

C )= A

Строим таблицу истинности.

Анализируем полученную таблицу. Из восьми строк таблицы лишь в двух (1-й и 7-й) функция меняет свое значение. Обратите внимание, что в этих строках переменная С не меняет свое значение, а переменные A и B – меняют.

Строим СДНФ функции по этим строкам:

F3 (A, B, C) = A B C+ A B C= C(A B+ A B) = C(A↔ B) = C+ (A B)

Следовательно, искомый ответ – 2.

Использованная литература

1. Шапиро С.И. Решение логических и игровых задач (логико-психологические этюды). – М.: Радио и связь, 1984. – 152 с.

2. Шоломов Л.А. Основы теории дискретных логических и вычислительных устройств. – М.: Наука. Гл. ред. физ. - мат. лит., 1980. - 400 с.

3. Пухальский Г.И., Новосельцева Т.Я. Проектирование дискретных устройств на интегральных микросхемах.: Справочник. – М.: Радио и связь, 1990.

Можно выделить различные способы решения систем логических уравнений. Это сведение к одному уравнению, построение таблицы истинности и декомпозиция.

Задача: Решить систему логических уравнений:

Рассмотрим метод сведения к одному уравнению . Данный метод предполагает преобразование логических уравнений, таким образом, чтобы правые их части были равны истинностному значению (то есть 1). Для этого применяют операцию логического отрицания. Затем, если в уравнениях есть сложные логические операции, заменяем их базовыми: «И», «ИЛИ», «НЕ». Следующим шагом объединяем уравнения в одно, равносильное системе, с помощью логической операции «И». После этого, следует сделать преобразования полученного уравнения на основе законов алгебры логики и получить конкретное решение системы.

Решение 1: Применяем инверсию к обеим частям первого уравнения:

Представим импликацию через базовые операции «ИЛИ», «НЕ»:

Поскольку левые части уравнений равны 1, можно объединить их с помощью операции “И” в одно уравнение, равносильное исходной системе:

Раскрываем первую скобку по закону де Моргана и преобразовываем полученный результат:

Полученное уравнение, имеет одно решение: A =0, B=0 и C=1.

Следующий способ – построение таблиц истинности . Поскольку логические величины имеют только два значения, можно просто перебрать все варианты и найти среди них те, при которых выполняется данная система уравнений. То есть, мы строим одну общую таблицу истинности для всех уравнений системы и находим строку с нужными значениями.

Решение 2: Составим таблицу истинности для системы:








0	0	1	1	0	1

Полужирным выделена строчка, для которой выполняются условия задачи. Таким образом, A=0, B=0 и C=1.

Способ декомпозиции . Идея состоит в том, чтобы зафиксировать значение одной из переменных (положить ее равной 0 или 1) и за счет этого упростить уравнения. Затем можно зафиксировать значение второй переменной и т.д.

Решение 3: Пусть A = 0, тогда:

Из первого уравнения получаем B =0, а из второго – С=1. Решение системы: A = 0, B = 0 и C = 1.

В ЕГЭ по информатике очень часто требуется определить количество решений системы логических уравнений, без нахождения самих решений, для этого тоже существуют определенные методы. Основной способ нахождения количества решений системы логических уравнений – замена переменных . Сначала необходимо максимально упростить каждое из уравнений на основе законов алгебры логики, а затем заменить сложные части уравнений новыми переменными и определить количество решений новой системы. Далее вернуться к замене и определить для нее количество решений.

Задача: Сколько решений имеет уравнение (A →B ) + (C →D ) = 1? Где A, B, C, D – логические переменные.

Решение: Введем новые переменные: X = A →B и Y = C →D . С учетом новых переменных уравнение запишется в виде: X + Y = 1.

Дизъюнкция верна в трех случаях: (0;1), (1;0) и (1;1), при этом X и Y является импликацией, то есть является истинной в трех случаях и ложной – в одном. Поэтому случай (0;1) будет соответствовать трем возможным сочетаниям параметров. Случай (1;1) – будет соответствовать девяти возможным сочетаниям параметров исходного уравнения. Значит, всего возможных решений данного уравнения 3+9=15.

Следующий способ определения количества решений системы логических уравнений – бинарное дерево . Рассмотрим данный метод на примере.

Задача: Сколько различных решений имеет система логических уравнений:

Приведенная система уравнений равносильна уравнению:

(x 1 → x 2 )*(x 2 → x 3 )*…*(x m -1 → x m ) = 1.

Предположим, что x 1 – истинно, тогда из первого уравнения получаем, что x 2 также истинно, из второго - x 3 =1, и так далее до x m = 1. Значит набор (1; 1; …; 1) из m единиц является решением системы. Пусть теперь x 1 =0, тогда из первого уравнения имеем x 2 =0 или x 2 =1.

Когда x 2 истинно получаем, что остальные переменные также истинны, то есть набор (0; 1; …; 1) является решением системы. При x 2 =0 получаем, что x 3 =0 или x 3 =, и так далее. Продолжая до последней переменной, получаем, что решениями уравнения являются следующие наборы переменных (m +1 решение, в каждом решении по m значений переменных):

(1; 1; 1; …; 1)

(0; 1; 1; …; 1)

(0; 0; 0; …; 0)

Такой подход хорошо иллюстрируется с помощью построения бинарного дерева. Количество возможных решений – количество различных ветвей построенного дерева. Легко заметить, что оно равно m +1.

	Дерево	Количество решений
x 1
x 2
x 3
		…

В случае трудностей в рассужд ниях и построении де рева решений можно искать решение с использованием таблиц истинности , для одного – двух уравнений.

Перепишем систему уравнений в виде:

И составим таблицу истинности отдельно для одного уравнения:

x 1	x 2	(x 1 → x 2)

Составим таблицу истинности для двух уравнений:

x 1	x 2	x 3	x 1 → x 2	x 2 → x 3	(x 1 → x 2) (x 2 → x 3)*

Пусть – логическая функция от n переменных. Логическое уравнение имеет вид:

Константа С имеет значение 1 или 0.

Логическое уравнение может иметь от 0 до различных решений. Если С равно 1, то решениями являются все те наборы переменных из таблицы истинности, на которых функция F принимает значение истина (1). Оставшиеся наборы являются решениями уравнения при C, равном нулю. Можно всегда рассматривать только уравнения вида:

Действительно, пусть задано уравнение:

В этом случае можно перейти к эквивалентному уравнению:

Рассмотрим систему из k логических уравнений:

Решением системы является набор переменных, на котором выполняются все уравнения системы. В терминах логических функций для получения решения системы логических уравнений следует найти набор, на котором истинна логическая функция Ф, представляющая конъюнкцию исходных функций :

Если число переменных невелико, например, менее 5, то нетрудно построить таблицу истинности для функции , что позволяет сказать, сколько решений имеет система и каковы наборы, дающие решения.

В некоторых задачах ЕГЭ по нахождению решений системы логических уравнений число переменных доходит до значения 10. Тогда построить таблицу истинности становится практически неразрешимой задачей. Для решения задачи требуется другой подход. Для произвольной системы уравнений не существует общего способа, отличного от перебора, позволяющего решать такие задачи.

В предлагаемых на экзамене задачах решение обычно основано на учете специфики системы уравнений. Повторяю, кроме перебора всех вариантов набора переменных, общего способа решения задачи нет. Решение нужно строить исходя из специфики системы. Часто полезно провести предварительное упрощение системы уравнений, используя известные законы логики. Другой полезный прием решения этой задачи состоит в следующем. Нам интересны не все наборы, а только те, на которых функция имеет значение 1. Вместо построения полной таблицы истинности будем строить ее аналог - бинарное дерево решений. Каждая ветвь этого дерева соответствует одному решению и задает набор, на котором функция имеет значение 1. Число ветвей в дереве решений совпадает с числом решений системы уравнений.

Что такое бинарное дерево решений и как оно строится, поясню на примерах нескольких задач.

Задача 18

Сколько существует различных наборов значений логических переменных x1, x2, x3, x4, x5, y1, y2, y3, y4, y5, которые удовлетворяют системе из двух уравнений?

Ответ: Система имеет 36 различных решений.

Решение: Система уравнений включает два уравнения. Найдем число решений для первого уравнения, зависящего от 5 переменных – . Первое уравнение можно в свою очередь рассматривать как систему из 5 уравнений. Как было показано, система уравнений фактически представляет конъюнкцию логических функций. Справедливо и обратное утверждение, - конъюнкцию условий можно рассматривать как систему уравнений.

Построим дерево решений для импликации () - первого члена конъюнкции, который можно рассматривать как первое уравнение. Вот как выглядит графическое изображение этого дерева

Дерево состоит из двух уровней по числу переменных уравнения. Первый уровень описывает первую переменную . Две ветви этого уровня отражают возможные значения этой переменной – 1 и 0. На втором уровне ветви дерева отражают только те возможные значения переменной , для которых уравнение принимает значение истина. Поскольку уравнение задает импликацию, то ветвь, на которой имеет значение 1, требует, чтобы на этой ветви имело значение 1. Ветвь, на которой имеет значение 0, порождает две ветви со значениями , равными 0 и 1. Построенное дерево задает три решения, на которых импликация принимает значение 1. На каждой ветви выписан соответствующий набор значений переменных, дающий решение уравнения.

Вот эти наборы: {(1, 1), (0, 1), (0, 0)}

Продолжим построение дерева решений, добавляя следующее уравнение, следующую импликацию . Специфика нашей системы уравнений в том, что каждое новое уравнение системы использует одну переменную из предыдущего уравнения, добавляя одну новую переменную. Поскольку переменная уже имеет значения на дереве, то на всех ветвях, где переменная имеет значение 1, переменная также будет иметь значение 1. Для таких ветвей построение дерева продолжается на следующий уровень, но новые ветви не появляются. Единственная ветвь, где переменная имеет значение 0, даст разветвление на две ветви, где переменная получит значения 0 и 1. Таким образом, каждое добавление нового уравнения, учитывая его специфику, добавляет одно решение. Исходное первое уравнение:

имеет 6 решений. Вот как выглядит полное дерево решений для этого уравнения:

Второе уравнение нашей системы аналогично первому:

Разница лишь в том, что в уравнении используются переменные Y. Это уравнение также имеет 6 решений. Поскольку каждое решение для переменных может быть скомбинировано с каждым решением для переменных , то общее число решений равно 36.

Заметьте, построенное дерево решений дает не только число решений (по числу ветвей), но и сами решения, выписанные на каждой ветви дерева.

Задача 19

Сколько существует различных наборов значений логических переменных x1, x2, x3, x4, x5, y1, y2, y3, y4, y5, которые удовлетворяют всем перечисленным ниже условиям?

Эта задача является модификацией предыдущей задачи. Разница в том, что добавляется еще одно уравнение, связывающее переменные X и Y.

Из уравнения следует, что когда имеет значение 1(одно такое решение существует), то и имеет значение 1. Таким образом, существует один набор, на котором и имеют значения 1. При , равном 0, может иметь любое значение, как 0, так и 1. Поэтому каждому набору с , равном 0, а таких наборов 5, соответствует все 6 наборов с переменными Y. Следовательно, общее число решений равно 31.

Задача 20

Решение: Вспоминания основные эквивалентности, запишем наше уравнение в виде:

Циклическая цепочка импликаций означает тождественность переменных, так что наше уравнение эквивалентно уравнению:

Это уравнение имеет два решения, когда все равны либо 1, либо 0.

Задача 21

Сколько решений имеет уравнение:

Решение: Так же, как и в задаче 20, от циклических импликаций перейдем к тождествам, переписав уравнение в виде:

Построим дерево решений для этого уравнения:

Задача 22

Сколько решений имеет следующая система уравнений?

Назначение сервиса . Онлайн-калькулятор предназначен для построения таблицы истинности для логического выражения .
Таблица истинности – таблица содержащая все возможные комбинации входных переменных и соответствующее им значения на выходе.
Таблица истинности содержит 2 n строк, где n – число входных переменных, и n+m – столбцы, где m – выходные переменные.

Инструкция . При вводе с клавиатуры используйте следующие обозначения:

Например, логическое выражение abc+ab~c+a~bc необходимо ввести так: a*b*c+a*b=c+a=b*c
Для ввода данных в виде логической схемы используйте этот сервис .

Правила ввода логической функции

Вместо символа v (дизъюнкция, ИЛИ) используйте знак + .
Перед логической функцией не надо указывать обозначение функции. Например, вместо F(x,y)=(x|y)=(x^y) необходимо ввести просто (x|y)=(x^y) .
Максимальное количество переменных равно 10 .

Проектирование и анализ логических схем ЭВМ ведётся с помощью специального раздела математики - алгебры логики. В алгебре логики можно выделить три основные логические функции: "НЕ" (отрицание), "И" (конъюнкция), "ИЛИ" (дизъюнкция).
Для создания любого логического устройства необходимо определить зависимость каждой из выходных переменных от действующих входных переменных такая зависимость называется переключательной функцией или функцией алгебры логики.
Функция алгебры логики называется полностью определённой если заданы все 2 n её значения, где n – число выходных переменных.
Если определены не все значения, функция называется частично определённой.
Устройство называется логическим, если его состояние описывается с помощью функции алгебры логики.
Для представления функции алгебры логики используется следующие способы:
По алгебраической форме можно построить схему логического устройства, используя логические элементы.

Рисунок1- Схема логического устройства

Все операции алгебры логики определяются таблицами истинности значений. Таблица истинности определяет результат выполнения операции для всех возможны х логических значений исходных высказываний. Количество вариантов, отражающих результат применения операций, будет зависеть от количества высказываний в логическом выражении. Если число высказываний в логическом выражении N, то таблица истинности будет содержать 2 N строк, так как существует 2 N различных комбинаций возможных значений аргументов.

Операция НЕ - логическое отрицание (инверсия)

Логическая операция НЕ применяется к одному аргументу, в качестве которого может быть и простое, и сложное логическое выражение. Результатом операции НЕ является следующее:

если исходное выражение истинно, то результат его отрицания будет ложным;
если исходное выражение ложно, то результат его отрицания будет истинным.

Для операции отрицания НЕ приняты следующие условные обозначения:
не А, Ā, not A, ¬А, !A
Результат операции отрицания НЕ определяется следующей таблицей истинности:

A	не А
0	1
1	0

Результат операции отрицания истинен, когда исходное высказывание ложно, и наоборот.

Операция ИЛИ - логическое сложение (дизъюнкция, объединение)

Логическая операция ИЛИ выполняет функцию объединения двух высказываний, в качестве которых может быть и простое, и сложное логическое выражение. Высказывания, являющиеся исходными для логической операции, называют аргументами. Результатом операции ИЛИ является выражение, которое будет истинным тогда и только тогда, когда истинно будет хотя бы одно из исходных выражений.
Применяемые обозначения: А или В, А V В, A or B, A||B.
Результат операции ИЛИ определяется следующей таблицей истинности:
Результат операции ИЛИ истинен, когда истинно А, либо истинно В, либо истинно и А и В одновременно, и ложен тогда, когда аргументы А и В - ложны.

Операция И - логическое умножение (конъюнкция)

Логическая операция И выполняет функцию пересечения двух высказываний (аргументов), в качестве которых может быть и простое, и сложное логическое выражение. Результатом операции И является выражение, которое будет истинным тогда и только тогда, когда истинны оба исходных выражения.
Применяемые обозначения: А и В, А Λ В, A & B, A and B.
Результат операции И определяется следующей таблицей истинности:

A	B	А и B
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

Результат операции И истинен тогда и только тогда, когда истинны одновременно высказывания А и В, и ложен во всех остальных случаях.

Операция «ЕСЛИ-ТО» - логическое следование (импликация)

Эта операция связывает два простых логических выражения, из которых первое является условием, а второе - следствием из этого условия.
Применяемые обозначения:
если А, то В; А влечет В; if A then В; А→ В.
Таблица истинности:

A	B	А → B
0	0	1
0	1	1
1	0	0
1	1	1

Результат операции следования (импликации) ложен только тогда, когда предпосылка А истинна, а заключение В (следствие) ложно.

Операция «А тогда и только тогда, когда В» (эквивалентность, равнозначность)

Применяемое обозначение: А ↔ В, А ~ В.
Таблица истинности:

A	B	А↔B
0	0	1
0	1	0
1	0	0
1	1	1

Операция «Сложение по модулю 2» (XOR, исключающее или, строгая дизъюнкция)

Применяемое обозначение: А XOR В, А ⊕ В.
Таблица истинности:

A	B	А⊕B
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	0

Результат операции эквивалентность истинен только тогда, когда А и В одновременно истинны или одновременно ложны.

Приоритет логических операций

Действия в скобках
Инверсия
Конъюнкция (&)
Дизъюнкция (V), Исключающее ИЛИ (XOR), сумма по модулю 2
Импликация (→)
Эквивалентность (↔)

Совершенная дизъюнктивная нормальная форма

Совершенная дизъюнктивная нормальная форма формулы (СДНФ) это равносильная ей формула, представляющая собой дизъюнкцию элементарных конъюнкций, обладающая свойствами:

Каждое логическое слагаемое формулы содержит все переменные, входящие в функцию F(x 1 ,x 2 ,...x n).
Все логические слагаемые формулы различны.
Ни одно логическое слагаемое не содержит переменную и её отрицание.
Ни одно логическое слагаемое формулы не содержит одну и ту же переменную дважды.

СДНФ можно получить или с помощью таблиц истинности или с помощью равносильных преобразований.
Для каждой функции СДНФ и СКНФ определены единственным образом с точностью до перестановки.

Совершенная конъюнктивная нормальная форма

Совершенная конъюнктивная нормальная форма формулы (СКНФ) это равносильная ей формула, представляющая собой конъюнкцию элементарных дизъюнкций, удовлетворяющая свойствам:

Все элементарные дизъюнкции содержат все переменные, входящие в функцию F(x 1 ,x 2 ,...x n).
Все элементарные дизъюнкции различны.
Каждая элементарная дизъюнкция содержит переменную один раз.
Ни одна элементарная дизъюнкция не содержит переменную и её отрицание.